Overslaan en naar de inhoud gaan

De onvolledigheidsstellingen van Gödel

Prof.dr. Erik Krabbe

Omstreeks 1900 werden grote vorderingen gemaakt in het grondslagenonderzoek van de wiskunde. Tegelijk ontstond er een crisis door het optreden van paradoxen. Kun je een systeem maken waarmee alle wiskundige waarheden (en geen onwaarheden) kunnen worden bewezen? Kurt Gödel (1906-1978) liet in 1931 zien dat het niet kan. De eerste onvolledigheidsstelling (“rekenkunde is onvolledig”) houdt in dat geen enkel formeel systeem voor de rekenkunde van de natuurlijke getallen dat voldoende krachtig is om voor de gangbare rekenkundige stellingen bewijzen te formuleren, in staat is om voor alle rekenkundige waarheden bewijzen te leveren. We zullen zien hoe een formeel systeem “over zichzelf kan praten” en hoe een paradox (“Deze zin is onbewijsbaar”) in een stelling wordt omgezet. Ten slotte wordt nog kort ingegaan op Gödels tweede onvolledigheidsstelling (“rekenkunde kan haar eigen consistentie niet bewijzen”) door te laten zien dat wie meent dat hij consistent is daardoor juist inconsistent dreigt te worden.

Prof.dr. Erik C.W. Krabbe (Den Haag, 1943) studeerde wijsbegeerte met wiskunde aan de Universiteit van Amsterdam. Hij promoveerde in 1982 te Groningen op een proefschrift over dialooglogica. Vanaf 1988 is hij verbonden aan de RUG als universitair hoofddocent - sinds 1995 ook als bijzonder hoogleraar - werkzaam op het gebied van logica en argumentatieleer. Behalve aan de Faculteit der Wijsbegeerte geeft hij ook onderwijs (in de wiskundige logica) bij de Afdeling Wiskunde en Informatica. Zijn onderzoek is voornamelijk gericht op argumentatietheorie (informele logica) en formele dialooglogica.

Everything you always wanted to know is een middagcollege over kopstukken en hoofdzaken in de wetenschap, cultuur en maatschappij. Over Grote Gebeurtenissen, Grote Theorieën, Grote Namen en Omvattende Concepten. Van Big Bang tot Supersnaren, van Plato tot Wittgenstein, van Mythologie tot Chaostheorie, van Homerus tot Huizinga.

Ook in deze serie

Zie ook

Carla Roos, Kasper Hendriks en Diederik Roest
Nederlands

De mens is een kuddedier. We vormen op allerlei manieren groepen: met vrienden, familie of landgenoten, in studentenverenigingen, sportclubs of in de kerk.